AMC 10 几何复习
几何日 · 2026-11-03｜公式、图形关系与审题习惯
六个知识点
1. 直角三角形斜边上的高
关键想法
同一三角形面积可写成 ab/2，也可写成 ch/2；令两者相等即可得到斜边上的高。先用勾股定理求 c（若尚未知）。
例：两直角边为 9、12，斜边为 15。高 h = 9×12/15 = 36/5。
常见陷阱：把斜边误当作高，或用 ab/c 时忘记先确认 c 是斜边。
2. 弧长与扇形面积
关键想法
若中心角以度数给出，先转弧度：θ =（角度数）× π/180。弧长是长度，扇形面积是平方单位。
例：半径 3、中心角 60° = π/3，则 L = 3·π/3 = π；A = ½·9·π/3 = 3π/2。
常见陷阱：题目问 arc length 却计算 sector area；还要避免直接把度数代入弧度公式。
3. 由正方形对角线求面积
关键想法
正方形边长为 s 时，勾股定理给出 d² = 2s²；面积 A = s²，所以 A = d²/2。
例：对角线 d = 14，面积 A = 14²/2 = 98。
常见陷阱：把对角线当成边长直接平方；面积单位也应是平方单位。
4. 等腰三角形面积：先求高
关键想法
从顶点向底边作高，会垂直平分底边。用 Pythagorean theorem（勾股定理）在形成的直角三角形中求高，再代入面积公式。
例：腰长 10、底边 12。半底边为 6，高为 √(10²−6²)=8，面积为 ½·12·8=48。
常见陷阱：用整条底边而非半条底边做勾股计算，或忘记面积公式中的 1/2。
5. 正六边形面积
关键想法
连接中心与六个顶点，可分成六个边长为 s 的等边三角形；每个面积为 √3s²/4。
例：边长 s = 4，则面积 A = (3√3/2)·16 = 24√3。
常见陷阱：只算一个等边三角形的面积，忘记乘 6；别把周长当作边长。
6. 中点公式与坐标分量
关键想法
x 坐标取两个 x 值的平均数，y 坐标取两个 y 值的平均数。逐项对应计算。
例：(−2, 5) 与 (4, 9) 的中点为 ((−2+4)/2, (5+9)/2) = (1, 7)。
常见陷阱：题目只问 x-coordinate 时，只回答 x 值，不必把完整中点坐标当作答案。
练习题
先独立作答；点击每题下方的按钮查看答案与完整过程。
Q1
A right triangle has legs 6 and 8. What is the length of the altitude to the hypotenuse?
显示答案与解答
斜边 c = √(6²+8²)=10。用面积相等：½·6·8 = ½·10·h，因此 h = 48/10 = 24/5 = 4.8。
Q2
A sector has radius 6 and central angle 120 degrees. What is the length of its arc?
显示答案与解答
120° = 2π/3 弧度。弧长 L = rθ = 6·(2π/3) = 4π。
Q3
A square has diagonal 10. What is its area?
显示答案与解答
正方形面积 A = d²/2，所以 A = 10²/2 = 50。
Q4
An isosceles triangle has sides 13, 13, and 10. What is its area?
显示答案与解答
作高后，底边 10 被平分为两段 5。由勾股定理，高 h = √(13²−5²)=√144=12。面积 = ½·10·12 = 60。
Q5
A regular hexagon has side length 2. What is its area?
显示答案与解答
面积 A = (3√3/2)s²。代入 s=2：A = (3√3/2)·4 = 6√3。
Q6
What is the x-coordinate of the midpoint of the segment joining (2, 3) and (8, 11)?
显示答案与解答
中点的 x 坐标为 (2+8)/2 = 5。题目只问 x-coordinate，因此答案只写 5。
收尾检查
- 检查单位是否合适。
- 检查题目问的是哪一个量。
- 检查是否踩中了对应的常见陷阱。