AMC 10 完整备考手册

中文讲解 × English vocabulary × 完整例题 × 25 题模拟练习

编制日期：2026-11-04　｜　考试日期：2026-11-15（星期日）

本手册按你的备考日期安排；考试开始时间与考场地点以学校或考点通知为准。

1. 考试概览与作答策略

AMC 10 的题型为 25 道选择题（multiple-choice questions），每题 A–E 五个选项，限时 75 分钟。本页提供原创 AMC 风格练习，不是官方试卷，也不用于保证实际考题难度或分布。

先稳后难：优先拿下会做的基础题与中等题；遇到没有思路、计算不断变长的题，标记并跳过，第二轮再回头。
时间参考：前 30 分钟完成有把握的题；中间 30 分钟处理标记题；最后 15 分钟核对题号、选项和目标量。这是个人节奏参考，不必为了赶进度牺牲准确性。
卡题处理：画图、列小表、试小数值、代入选项、找不变量。若仍没有推进，保留已有式子，转做下一题。
每题完成后的固定动作：把算出的数代回题意，并重读最后一句：“题目真正要我求什么？”

核心防错口令：算完 → 重读目标 → 检查大小、单位与坐标分量 → 再选答案。
算出 x 不等于答出了 2x+1；求出较小根不等于找到了较大根；找到交点不等于答出了它的 y 坐标。

使用顺序：先读五章并独立尝试例题，再复习公式表；模拟时不要展开解析，结束后逐题核对并填写错题表。

2. 第一章：代数 · Algebra

核心方法与术语

一次方程（linear equation）：ax+b=c，a≠0 时 x=(c−b)/a。去分母时每一项都乘最小公倍数；含分母的未知数要先标记不能取的值。
二次方程（quadratic equation）：ax²+bx+c=0，a≠0。优先因式分解（factorization）；不易分解时用 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)。判别式 Δ=b²−4ac：Δ>0 两个实根，Δ=0 重根，Δ<0 无实根。
不等式（inequality）：加减同一数方向不变；乘除负数时方向反转。乘除含未知数的式子前，要知道它的正负。联立不等式取交集。
多项式与韦达（polynomial; Vieta’s formulas）：根 r,s 满足 r+s=−b/a，rs=c/a；r²+s²=(r+s)²−2rs。不一定要先求出每个根。常用 a²−b²=(a−b)(a+b)，(a±b)²=a²±2ab+b²。
函数（function）：f(x) 是输入 x 对应的输出，不是 f 乘 x。先看定义域（domain），再代入、化简；图像与坐标轴的交点常用令 y=0 或 x=0 求得。
绝对值（absolute value）：|u| 表示到 0 的距离。c>0 时 |u|=c 等价于 u=c 或 u=−c；|u|<c 等价于 −c<u<c；|u|>c 要分两侧。|u| 不可能为负。
方程组（system of equations）：代入法（substitution）适合一个变量容易表示；消元法（elimination）适合系数能对齐。求 x+y 时可先尝试两式相加，不必都求出。
应用题（word problem）：先定义带单位的变量，再把文字译成等式。路程=速度×时间；工作量=效率×时间；利润=售价−成本。百分比变化要明确基准量，两次变化乘以各自的倍率。

例 1：二次方程与韦达

若 r,s 是 2x²−7x+3=0 的根，求 r²+s²。

识别 a=2,b=−7,c=3。由韦达，r+s=7/2，rs=3/2。
目标是平方和：r²+s²=(r+s)²−2rs。
代入得 49/4−3=37/4。
检验：原式可分解为 (2x−1)(x−3)=0，根为 1/2 与 3；平方和 1/4+9=37/4。

例 2：绝对值与不等式

求同时满足 |2x−3|≤5 与 7−3x<10 的实数 x。

|2x−3|≤5 ⇒ −5≤2x−3≤5。
同时加 3，再除以 2，得 −1≤x≤4。
7−3x<10 ⇒ −3x<3。除以 −3 时翻转方向，得 x>−1。
取交集得 −1<x≤4。左端 −1 不包含，右端 4 包含。

例 3：票价应用题与方程组

学生票每张 8 元，成人票每张 12 元，共售 17 张，总收入 172 元。求成人票张数。

设学生票 s 张、成人票 a 张，则 s+a=17，8s+12a=172。
第一式乘 8 得 8s+8a=136；第二式减去它，得 4a=36。
a=9，s=8。验证 9×12+8×8=172。
题目问成人票，因此答案为 9 张。

常见陷阱：忘记负号；把 (a+b)² 写成 a²+b²；约去可能为 0 的因子而丢根；平方两边引入增根却不代回；百分比连续下降后直接相加；解出中间变量后没有转换成所问数量。

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3. 第二章：几何 · Geometry

图形、公式与条件

三角形（triangle）：内角和 180°；两边之和大于第三边；面积 K=bh/2，高必须垂直于底。相似三角形（similar triangles）的对应边比为 k 时，面积比为 k²。
勾股定理（Pythagorean theorem）：直角三角形两直角边 a,b 与斜边 c 满足 a²+b²=c²。常见整数边组 3–4–5、5–12–13、8–15–17 及其倍数。
特殊直角三角形（special right triangles）：45°–45°–90° 的边比 1:1:√2；30°–60°–90° 的边比 1:√3:2，分别对应 30°、60°、90° 的对边。
圆（circle）：直径 d=2r；周长 C=2πr；面积 A=πr²。圆心角 θ（度）的弧长为 θ/360×2πr，扇形面积为 θ/360×πr²。相同弧对应的圆周角等于圆心角的一半；切线与切点半径垂直。
多边形（polygon）：n 边形内角和 (n−2)×180°；正 n 边形每个外角 360°/n，每个内角 180°−360°/n。对角线条数 n(n−3)/2，每条不要数两次。
坐标几何（coordinate geometry）：两点距离 √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]；中点 ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)；斜率 m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)，竖线斜率不存在。非竖线可用 y−y₁=m(x−x₁)。
面积与体积（area and volume）：矩形 lw；平行四边形 bh；梯形 (a+b)h/2。长方体 V=lwh；棱柱 V=底面积×高；圆柱 V=πr²h；圆锥 V=πr²h/3；球 V=4πr³/3，表面积 4πr²。图形等比放大 k 倍，面积变 k² 倍，体积变 k³ 倍。

例 1：直角三角形的内切圆

一直角三角形的直角边为 6、8，求其内切圆面积。

由勾股定理，斜边 c=√(6²+8²)=10。
三角形面积 K=6×8/2=24；半周长 s=(6+8+10)/2=12。
连接内心到三个顶点，三个小三角形的高都为内切圆半径 r，因此 K=r(a+b+c)/2=rs。
r=24/12=2，所以内切圆面积为 4π。注意 2 是半径，题目要求面积。

例 2：坐标中的底与高

A(−1,2)、B(5,2)、C(3,7) 构成三角形，求面积和边 AC 的中点。

A、B 的纵坐标相同，AB 是水平线段，长度 5−(−1)=6。
C 到直线 y=2 的垂直距离为 |7−2|=5，所以面积为 6×5/2=15。
AC 的中点横坐标为 (−1+3)/2=1，纵坐标为 (2+7)/2=9/2。
中点为 (1,9/2)。检查它位于 A 与 C 的正中间，且面积单位应为平方单位。

例 3：特殊三角形与圆柱

一个 30°–60°–90° 三角形斜边为 10。以它的短直角边作圆柱半径、长直角边作高，求圆柱体积。

边比 1:√3:2，斜边 10 对应倍率 5。
短直角边为 5，长直角边为 5√3。
V=πr²h=π×25×5√3=125√3π 立方单位。

常见陷阱：把图看成按比例绘制；斜边认错；把倾斜的边当高；半径和直径混用；相似图形的面积比误用边比；坐标顺序写反；把周长单位当面积单位。

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4. 第三章：数论 · Number Theory

把整数拆成结构

整除（divisibility）：a|b 表示 b=ak，其中 k 为整数。被 2 整除看末位；被 3 或 9 整除看各位数字和；被 4 整除看末两位；被 5 整除看末位 0 或 5；被 8 整除看末三位；被 11 整除看奇偶位数字和之差是否为 11 的倍数。
质数（prime）：大于 1，且正因数只有 1 与自身；1 不是质数。判断 n 是否为质数，只需试除不超过 √n 的质数，因为若 n=ab 为合数，至少一个因子≤√n。
质因数分解（prime factorization）：若 n=p₁^a₁p₂^a₂⋯，则正因数个数为 (a₁+1)(a₂+1)⋯；每个因子独立选择各质数的指数。
最大公因数与最小公倍数（gcd; lcm）：分解后 gcd 取各质数指数最小值，lcm 取最大值。对正整数 a,b，gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。辗转相除法：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
模运算（modular arithmetic）：a≡b (mod m) 表示 m|(a−b)。同余可加、减、乘，幂次常找循环；不能随意约分，例如 2x≡2 (mod 6) 不能直接认定 x≡1 (mod 6)。
数字与进位制（digits; bases）：十进制三位数为 100a+10b+c；b 进制 (xyz)ᵦ=xb²+yb+z，数字范围 0 到 b−1，首位不能为 0。转回 b 进制可连续除以 b，余数倒序排列。

例 1：gcd、lcm 与因数个数

已知 gcd(84,n)=12，lcm(84,n)=420，求 n 及其正因数个数。

用乘积公式：84n=12×420，所以 n=60。
验证：84=2²×3×7，60=2²×3×5；gcd=2²×3=12，lcm=2²×3×5×7=420。
60=2²×3¹×5¹，每个因数的三个指数分别有 3、2、2 种选择。
正因数个数为 3×2×2=12；所求整数为 60。

例 2：余数循环

求 7²⁰²⁶ 被 10 除的余数。

依次看末位：7¹→7，7²→9，7³→3，7⁴→1。
再乘 7 又回到 7，所以循环长度为 4。
2026=4×506+2，对应循环的第 2 项。
余数为 9。指数余数是 2，最终要读出循环中对应的数。

例 3：由进位制反求底数

若 (132)ᵦ=56（十进制），求 b。

按位值展开：b²+3b+2=56。
b²+3b−54=(b+9)(b−6)=0，得到 b=−9 或 6。
底数必须是大于所有数字的正整数，且数字 3 出现，因此 b≥4。
唯一可行底数为 6；检验 36+18+2=56。

常见陷阱：把 1 算作质数；漏掉整数自身或 1 这两个因数；求余数却答商；把指数的余数当幂的余数；数字题允许首位 0；把不同进位制的“132”都当一百三十二。

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5. 第四章：计数与概率 · Counting and Probability

先确定“一个结果”是什么

加法与乘法原理（addition / multiplication principle）：互斥情况相加；分步骤完成一件事时，各步选择数相乘。若选择数随前一步改变，需分情况，不能直接套固定乘积。
排列（permutation）：顺序重要，P(n,r)=n!/(n−r)!；n 个不同对象排队有 n! 种。相同对象重复出现时，按重复次数除以相应阶乘，如字母 AABBC 排列数为 5!/(2!2!)。
组合（combination）：顺序不重要，C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]，且 C(n,r)=C(n,n−r)。选两人组成小组用组合；选班长、副班长用排列。
分类讨论（casework）：情况之间不重叠，合起来没有遗漏。可按首位、奇偶、某类对象个数分类。
补集计数（complementary counting）：至少一个=总数−一个都没有；不相邻有时可用“插空法”。
基本概率（probability）：在等可能的有限样本空间中，P(E)=有利结果数/总结果数；P(非 E)=1−P(E)。无放回抽取时分母变化；独立事件才可直接用 P(A∩B)=P(A)P(B)。一般要用 P(A)P(B|A)。

例 1：含限制的三位数

用数字 0、1、2、3、4 组成不重复数字的三位偶数，共有多少个？

个位必须是 0、2 或 4。按个位是否为 0 分两类。
个位为 0：百位有 4 种选择；十位从剩下 3 个数字中选，有 4×3=12 个。
个位为 2 或 4：个位有 2 种；百位不能为 0，也不能与个位相同，有 3 种；十位可为 0，从剩下 3 个数字选，有 2×3×3=18 个。
两类互斥且穷尽，总数 12+18=30。

例 2：至少一个与补集

袋中有 4 个红球、3 个蓝球，每个球等可能被抽到。不放回抽 2 个，至少有一个红球的概率是多少？

以无序两球组合为结果，总数 C(7,2)=21。
“至少一个红球”的补集是“两个都是蓝球”，其结果数 C(3,2)=3。
概率为 1−3/21=6/7。
顺序法核验：两个蓝球概率为 (3/7)(2/6)=1/7，与组合结果相同。

例 3：不相邻的排列

5 个不同学生排成一排，甲、乙不能相邻，求排列数。

总数为 5!=120。
把相邻的甲乙当作一个整体，与另外 3 人共 4 个对象，有 4! 种。
整体内部甲乙可交换，有 2 种，所以相邻数为 2×4!=48。
不相邻数为 120−48=72。

常见陷阱：把“至少”读成“恰好”；无序选择重复计数；分子用有序结果、分母用无序结果；无放回仍把第二次分母写成原总数；把不等可能的类别当成等可能结果。

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6. 第五章：数列与函数 · Sequences and Functions

从规律到表达式

等差数列（arithmetic sequence）：公差 d=aₙ₊₁−aₙ；aₙ=a₁+(n−1)d；前 n 项和 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2。注意从第 1 项走到第 n 项只有 n−1 次变化。
等比数列（geometric sequence）：公比 r=aₙ₊₁/aₙ（前项非零）；aₙ=a₁rⁿ⁻¹。r≠1 时 Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)，r=1 时 Sₙ=na₁。公比可以为负，符号交替。
递推（recursion）：必须有初始值和递推规则。计算时列出项号；如 a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+1，则 2、5、11、23……。可尝试平移 bₙ=aₙ+1，把它变成 bₙ₊₁=2bₙ。
指数（exponentials）：aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ，(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，a⁰=1（a≠0），a⁻ⁿ=1/aⁿ。以实数范围讨论分数指数时要留意底数与定义域；如 √(x²)=|x|。
对数（logarithms，拓展衔接）：log_b x=y 等价于 bʸ=x，条件 b>0、b≠1、x>0。log_b(xy)=log_b x+log_b y；log_b(x/y)=log_b x−log_b y；log_b(xᵏ)=k log_b x（这里取 x>0）。对数属于本页要求的拓展内容，临考优先巩固指数与基础函数。
函数记号与复合（function notation; composition）：(f∘g)(x)=f(g(x))，先算内层。一般 f(g(x))≠g(f(x))。复合函数的定义域需同时保证内层有定义、内层输出可代入外层。

例 1：等差数列与求和

某等差数列满足 a₄=11、a₁₀=29，求 a₁ 与 S₁₀。

a₁+3d=11，a₁+9d=29。
相减得 6d=18，因此 d=3。
a₁=11−9=2。
S₁₀=10(2+29)/2=155。核对 a₁₀=2+9×3=29。

例 2：递推化为等比

a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+1，求 a₆。

两边加 1：aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)。
设 bₙ=aₙ+1，则 b₁=3，bₙ₊₁=2bₙ，所以 bₙ=3×2ⁿ⁻¹。
aₙ=3×2ⁿ⁻¹−1，故 a₆=3×32−1=95。
逐项核对 2、5、11、23、47、95；从 a₁ 到 a₆ 递推了 5 次。

例 3：复合函数与定义域

f(x)=√(x−1)，g(x)=2x+3，求 f(g(x)) 及其定义域。

把 g(x) 整体代入 f：f(g(x))=√((2x+3)−1)=√(2x+2)。
根号内需非负：2x+2≥0，故 x≥−1。
答案为 √(2x+2)，定义域 [−1,∞)。
反向复合 g(f(x))=2√(x−1)+3，定义域 x≥1；顺序改变会改变表达式和定义域。

例 4：指数与对数互译

解 3^x+1=81，并求 log₂(32)。

81=3⁴，同底指数函数一一对应，所以 x+1=4，x=3。
设 y=log₂32，则 2ʸ=32=2⁵，所以 y=5。
对数的输出是“指数”；不能把 log₂32 误写成 32/2。

常见陷阱：把 n−1 写成 n；等比求和用错项数；递推更新时用错上一项；f(x+1) 只给表达式的一部分加 1；颠倒复合顺序；错误使用 log(x+y)=log x+log y。

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7. 一页公式速查表

打印建议：A4 纵向、默认比例；本节设置单独分页。公式必须连同适用条件一起记忆。

主题	公式与条件	即时提醒
代数恒等式	(a±b)²=a²±2ab+b²；a²−b²=(a−b)(a+b)	中间项 ±2ab 不可漏
二次方程	x=(−b±√Δ)/(2a)，Δ=b²−4ac，a≠0；r+s=−b/a，rs=c/a	实根要求 Δ≥0
根的表达式	r²+s²=(r+s)²−2rs；(r−s)²=(r+s)²−4rs	差的平方不区分大小
不等式、绝对值	c≥0 时 \|u\|≤c ⇔ −c≤u≤c；\|u\|=c ⇔ u=±c	乘除负数翻转不等号
应用题	路程=速度×时间；新量=原量×(1±变化率)	先统一单位、确定基准
三角形	K=bh/2；直角三角形 a²+b²=c²；内切圆 K=rs，s=(a+b+c)/2	c 是斜边；h 垂直于底
特殊三角形	45°–45°–90°：1:1:√2；30°–60°–90°：1:√3:2	按角的对边对应
圆、扇形	C=2πr，A=πr²；弧长=(θ/360)2πr；扇形面积=(θ/360)πr²	θ 用度；d=2r
多边形、相似	内角和=(n−2)180°；正多边形外角=360°/n；相似面积比=k²	边比、面积比要区分
坐标	d=√[(Δx)²+(Δy)²]；中点=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)；m=Δy/Δx	Δx=0 时斜率不存在
面积、体积	梯形 A=(a+b)h/2；棱柱 V=Bh；圆柱 V=πr²h；圆锥 V=πr²h/3；球 V=4πr³/3	B 为底面积；体积用立方单位
整数	gcd(a,b)lcm(a,b)=ab（正整数）；n=∏pᵢ^aᵢ 的因数数=∏(aᵢ+1)	gcd 取小指数，lcm 取大指数
余数、进位制	a≡b (mod m) ⇔ m\|(a−b)；(xyz)ᵦ=xb²+yb+z	幂找循环；每个数字<b
排列、组合	P(n,r)=n!/(n−r)!；C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]；0!=1	有职位用排列，无顺序用组合
概率	P(E)=有利数/总数（等可能）；P(非E)=1−P(E)	不放回第二步总数会变
等差数列	aₙ=a₁+(n−1)d；Sₙ=n(a₁+aₙ)/2	从第 1 项到第 n 项有 n−1 步
等比数列	aₙ=a₁rⁿ⁻¹；Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)，r≠1；r=1 时 Sₙ=na₁	负公比会交替正负
指数、对数、复合	aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ；log_b x=y ⇔ bʸ=x；(f∘g)(x)=f(g(x))	log：b>0，b≠1，x>0；先内后外

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8. 审题与陷阱检查清单

每次准备勾选答案前，用 5–10 秒完成“目标量校验”。特别留意英文的 larger / smaller、sum / difference、at least / exactly、x-coordinate / y-coordinate。

检查项	自问一句	具体修正
□ 答错数量	我算的是题目最后一句要求的吗？	若 x=4 而题目求 3x−2，应答 10；若求未参加人数，应从总人数中减去参加人数。
□ 大小混淆	题目要较大、较小、最大还是最小？	得到根 2、7，要求 larger root 就选 7；求差时确认顺序与是否绝对值。
□ 单位错误	所有输入单位一致了吗？输出是长度、面积还是体积？	1 m=100 cm，但 1 m²=10,000 cm²；分钟转小时应除以 60。
□ 坐标分量	题目问 x、y、距离还是完整有序对？	交点 (3,8) 的 y-coordinate 为 8；中点横纵分量分别平均。
□ 范围与条件	整数？正数？不同？首位非零？	方程根需符合题目条件；两位数的十位至少是 1；概率必须介于 0 与 1。
□ 选项与题号	答案数值和选项字母对应吗？	每次回填先对题号，再对字母；不可把上一题的选择顺延。

可执行习惯：读题时圈出最后的目标短语；草稿末行写“所求 = ……（单位）”；完成计算后，把这行与题干最后一句对照一次。

9. 25 题 AMC 风格模拟练习

建议一次限时 75 分钟完成。题干与 A–E 选项用英文；每题均有中文完整解析。答案默认隐藏，点击该题的“显示答案与完整解析”才展开。题目大致由基础向综合推进，每章各有 5 题；难度安排不模拟官方试卷的精确曲线。

先记录选项和用时，再展开解析。做错、做对但犹豫、以及用时过长的题都应进入错题表。

Question 1 Algebra

If 3x + 7 = 22, what is the value of 2x − 1?

(A) 5(B) 7(C) 8(D) 9(E) 11

显示答案与完整解析 · Q1

答案：(D) 9

先解 3x=22−7=15，得 x=5。题目要求 2x−1，因此 2×5−1=9。代回原式 3×5+7=22 成立。

审题提醒：不要把中间量 x=5 当最终答案。

Question 2 Geometry

A rectangle has perimeter 34 and length 11. What is its area?

(A) 55(B) 60(C) 66(D) 77(E) 121

显示答案与完整解析 · Q2

答案：(C) 66

设宽为 w。周长 2(11+w)=34，所以 11+w=17，w=6。面积为 11×6=66 平方单位。

审题提醒：周长先除以 2；题目要求面积。

Question 3 Number Theory

What is the greatest common divisor of 84 and 126?

(A) 14(B) 21(C) 28(D) 42(E) 84

显示答案与完整解析 · Q3

答案：(D) 42

84=2²×3×7，126=2×3²×7。公因子中每种质数取较小指数，gcd=2×3×7=42。84÷42=2，126÷42=3，而 2、3 互质，故不能再增大。

审题提醒：gcd 取最小指数，lcm 才取最大指数。

Question 4 Counting and Probability

A club has 6 members. In how many ways can a committee of 2 members be chosen if neither member has a special role?

(A) 12(B) 15(C) 18(D) 30(E) 36

显示答案与完整解析 · Q4

答案：(B) 15

两人小组没有职位，选择甲乙和乙甲是同一个结果。先有序选择得 6×5=30，再除以两种内部顺序，得 C(6,2)=30/2=15。

审题提醒：无职位且无顺序，使用组合。

Question 5 Sequences and Functions

The first term of an arithmetic sequence is 4, and the common difference is 3. What is the tenth term?

(A) 27(B) 28(C) 30(D) 31(E) 34

显示答案与完整解析 · Q5

答案：(D) 31

等差通项 aₙ=a₁+(n−1)d。a₁₀=4+9×3=31。由第 1 项走到第 10 项增加了 9 次。

审题提醒：第 n 项的倍率是 n−1。

Question 6 Algebra

The equation x² − 9x + 14 = 0 has two real roots. What is the larger root?

(A) 2(B) 5(C) 7(D) 9(E) 14

显示答案与完整解析 · Q6

答案：(C) 7

因式分解 x²−9x+14=(x−2)(x−7)。所以根是 2 与 7，较大根为 7。检验 49−63+14=0。

审题提醒：larger 表示较大的那个根。

Question 7 Geometry

A right triangle has legs of lengths 9 and 12. What is its perimeter?

(A) 30(B) 33(C) 36(D) 42(E) 45

显示答案与完整解析 · Q7

答案：(C) 36

两条直角边为 9、12，斜边 c=√(9²+12²)=√225=15。周长为 9+12+15=36。

审题提醒：求得斜边后还要把三边相加。

Question 8 Number Theory

What is the remainder when 3²⁰ is divided by 7?

(A) 0(B) 1(C) 2(D) 4(E) 6

显示答案与完整解析 · Q8

答案：(C) 2

逐次计算模 7 的幂：3、2、6、4、5、1，因此 3⁶≡1 (mod 7)。20=6×3+2，故 3²⁰≡(3⁶)³×3²≡1×9≡2 (mod 7)。余数为 2。

审题提醒：余数取 0 到 6 之间，不能直接把 9 作余数。

Question 9 Counting and Probability

Two fair six-sided dice are rolled independently. What is the probability that the sum is 8?

(A) 1/12(B) 1/9(C) 5/36(D) 1/6(E) 7/36

显示答案与完整解析 · Q9

答案：(C) 5/36

用有序对 (第一骰点数,第二骰点数) 作为等可能结果，共 6×6=36 个。和为 8 的结果是 (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共 5 个。概率为 5/36。

审题提醒：(2,6) 与 (6,2) 是不同结果，样本空间要一致。

Question 10 Sequences and Functions

Let f(x) = 2x − 3 and g(x) = x² + 1. What is f(g(3))?

(A) 10(B) 14(C) 17(D) 19(E) 34

显示答案与完整解析 · Q10

答案：(C) 17

先求内层 g(3)=3²+1=10，再代入 f 得 f(10)=2×10−3=17。若反过来算 g(f(3)) 则为 g(3)=10，不是题目所问。

审题提醒：先内层、后外层。

Question 11 Algebra

A jacket priced at $80 is discounted by 25%. A 10% sales tax is then applied to the discounted price. What is the final price?

(A) $54(B) $60(C) $64(D) $66(E) $68

显示答案与完整解析 · Q11

答案：(D) $66

打折后的价格为 80×(1−0.25)=60 美元。税按折后价格计算，为 60×0.10=6 美元。最后价格 60+6=66 美元，也可算 80×0.75×1.10=66。

审题提醒：25% 与 10% 的基准不同，不能直接相减。

Question 12 Geometry

The endpoints of a segment are (−2, 5) and (8, −1). What is the y-coordinate of its midpoint?

(A) −3(B) 1(C) 2(D) 3(E) 4

显示答案与完整解析 · Q12

答案：(C) 2

中点横坐标为 (−2+8)/2=3；纵坐标为 (5+(−1))/2=2。因此中点是 (3,2)，题目要求 y-coordinate，答案为 2。

审题提醒：不要选横坐标 3。

Question 13 Number Theory

If the base-b numeral (132)ᵦ represents the decimal number 56, what is b?

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

显示答案与完整解析 · Q13

答案：(C) 6

位值展开得 b²+3b+2=56，即 b²+3b−54=0。分解为 (b+9)(b−6)=0，所以 b=−9 或 6。底数必须是大于数字 3 的正整数，故 b=6。检验 1×36+3×6+2=56。

审题提醒：底数需要符合数字范围，负数根必须舍去。

Question 14 Counting and Probability

How many three-digit even integers can be formed from the digits 0, 1, 2, 3, and 4 if no digit is repeated?

(A) 24(B) 27(C) 30(D) 36(E) 40

显示答案与完整解析 · Q14

答案：(C) 30

按个位分类。个位为 0 时，百位 4 种、十位 3 种，共 12 个。个位为 2 或 4 时，个位 2 种，百位不能为 0 或等于个位，所以 3 种；十位可选剩下 3 个，得 18 个。总数 12+18=30。

审题提醒：首位不能为 0；个位为 0 的一类要单独处理。

Question 15 Sequences and Functions

A geometric sequence has first term 3 and common ratio 2. What is the sum of its first 6 terms?

(A) 93(B) 96(C) 126(D) 189(E) 192

显示答案与完整解析 · Q15

答案：(D) 189

前 6 项为 3、6、12、24、48、96。用等比和 S₆=3(2⁶−1)/(2−1)=3×63=189。直接相加也得 189。

审题提醒：第 6 项是 96，前 6 项的和是 189。

Question 16 Algebra

What is the sum of all real solutions of |2x − 5| = 7?

(A) −1(B) 5(C) 6(D) 7(E) 12

显示答案与完整解析 · Q16

答案：(B) 5

绝对值等于 7，分成 2x−5=7 或 2x−5=−7。第一式得 x=6，第二式得 x=−1。两解均满足原式，所求和为 6+(−1)=5。

审题提醒：不能漏掉负分支，也不能只回答较大解。

Question 17 Geometry

A circle has radius 6. What is the area of a sector with central angle 120 degrees?

(A) 6π(B) 9π(C) 12π(D) 18π(E) 24π

显示答案与完整解析 · Q17

答案：(C) 12π

整个圆面积为 π×6²=36π。120° 占一周 360° 的 1/3，故扇形面积为 (120/360)×36π=12π 平方单位。

审题提醒：用面积公式而非弧长公式。

Question 18 Number Theory

How many positive divisors of 360 are perfect squares?

(A) 4(B) 6(C) 8(D) 12(E) 24

显示答案与完整解析 · Q18

答案：(A) 4

360=2³×3²×5。其正因子形如 2ᵃ3ᵇ5ᶜ，其中 0≤a≤3，0≤b≤2，0≤c≤1。平方数要求每个指数为偶数，所以 a∈{0,2}、b∈{0,2}、c=0，共 2×2×1=4 个。实际为 1、4、9、36。

审题提醒：1=1² 也是完全平方数。

Question 19 Counting and Probability

A bag contains 5 red balls and 4 blue balls. Two balls are drawn uniformly at random without replacement. What is the probability that the two balls have different colors?

(A) 4/9(B) 1/2(C) 5/9(D) 2/3(E) 20/27

显示答案与完整解析 · Q19

答案：(C) 5/9

无序两球组合总数 C(9,2)=36。不同色需选 1 个红球与 1 个蓝球，有 5×4=20 种。概率 20/36=5/9。顺序核对：(5/9)(4/8)+(4/9)(5/8)=40/72=5/9。

审题提醒：有红后蓝和蓝后红两条路径；抽后不放回。

Question 20 Sequences and Functions

A sequence is defined by a₁ = 1 and aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 for n ≥ 1. What is a₅?

(A) 29(B) 31(C) 45(D) 61(E) 125

显示答案与完整解析 · Q20

答案：(D) 61

逐项递推：a₂=2×1+3=5；a₃=2×5+3=13；a₄=2×13+3=29；a₅=2×29+3=61。另一方法设 bₙ=aₙ+3，则 b₁=4 且 bₙ₊₁=2bₙ，故 a₅=4×2⁴−3=61。

审题提醒：从 a₁ 到 a₅ 仅更新 4 次。

Question 21 Algebra

The real numbers r and s are the roots of 2x² − 7x + 3 = 0. What is (r − s)²?

(A) 13/4(B) 25/4(C) 37/4(D) 49/4(E) 25/2

显示答案与完整解析 · Q21

答案：(B) 25/4

韦达给出 r+s=7/2，rs=3/2。于是 (r−s)²=(r+s)²−4rs=49/4−6=25/4。用根 3 与 1/2 核对：(3−1/2)²=(5/2)²=25/4。

审题提醒：差的平方 (r−s)² 与平方和 r²+s² 不同；此处减 4rs。

Question 22 Geometry

A right circular cylinder has height 10 and radius 3. Water filling the cylinder is poured into an empty right circular cone of radius 6 and height 9. What fraction of the cone’s total volume is filled?

(A) 1/3(B) 1/2(C) 2/3(D) 5/6(E) 1

显示答案与完整解析 · Q22

答案：(D) 5/6

圆柱水体积为 π×3²×10=90π。圆锥容量为 (1/3)π×6²×9=108π。水体积小于容量，所以无溢出；填满比例为 90π/(108π)=5/6。

审题提醒：圆锥有 1/3 因子；分母是圆锥容量。

Question 23 Number Theory

How many integers n with 1 ≤ n ≤ 200 satisfy both n ≡ 2 (mod 5) and n ≡ 1 (mod 3)?

(A) 12(B) 13(C) 14(D) 15(E) 16

显示答案与完整解析 · Q23

答案：(B) 13

第一条件写成 n=5k+2。代入第二条件，5k+2≡1 (mod 3)，即 2k≡2 (mod 3)，所以 k≡1 (mod 3)。令 k=3t+1，得到 n=15t+7。范围 1≤15t+7≤200 给出整数 t=0,1,…,12，共 13 个；对应 7、22、…、187，下一项 202 超界。

审题提醒：数项数要末项减首项除以公差再加 1。

Question 24 Counting and Probability

How many 5-element subsets of {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} contain no two consecutive integers?

(A) 0(B) 2(C) 4(D) 6(E) 10

显示答案与完整解析 · Q24

答案：(A) 0

把选出的数从小到大写成 a₁<a₂<a₃<a₄<a₅。不含相邻整数要求 aᵢ₊₁≥aᵢ+2，且 a₁≥1。因此 a₅≥1+4×2=9，但集合最大元素只有 8，矛盾，所以没有这样的子集，数目为 0。等价地，5 个选中位置之间至少需要 4 个未选位置，共至少 9 个位置。

审题提醒：先判断是否可能；组合题的答案可以为 0。

Question 25 Sequences and Functions

For x > 0, let f(x) = 2ˣ and g(x) = log₂ x. What is the sum of all positive real solutions of f(g(x)) + g(f(x)) = x² − 3x + 6?

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

显示答案与完整解析 · Q25

答案：(D) 5

由指数与对数互逆，x>0 时 f(g(x))=2^log₂x=x，且 g(f(x))=log₂(2ˣ)=x。原方程化为 2x=x²−3x+6，即 x²−5x+6=0，分解为 (x−2)(x−3)=0。解 2、3 均为正，满足定义域；所求和为 5。逐一代回，x=2 时两边均为 4，x=3 时两边均为 6。

审题提醒：先检查定义域；题目要求全部正实数解之和。

练后复盘：对每道错题判断是“知识缺口、建模错误、计算错误、读错所求”中的哪一种，然后写一个能执行的防错动作。

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10. 2026-11-05 至 2026-11-14 每日计划

每天 30–60 分钟，重点是稳定输出和即时纠错。25 题正式模拟需要 75 分钟；为遵守此处每日时长，下面采用分段训练，不把分段成绩当作完整限时模考成绩。

日期	总时长	具体安排	当天产出
11-05（四）	45 分钟	代数讲解 20 分钟；独立做本章例题 15 分钟；口头解释韦达与绝对值 10 分钟。	写下 3 个代数防错点。
11-06（五）	45 分钟	几何公式与条件 15 分钟；重做例题 20 分钟；核对单位及图形标注 10 分钟。	默写特殊三角形边比与面积体积公式。
11-07（六）	40 分钟	数论方法 15 分钟；完成例题 15 分钟；整理余数循环与底数条件 10 分钟。	写出 gcd/lcm 和因数个数的区别。
11-08（日）	45 分钟	排列组合与概率 15 分钟；独立做例题 20 分钟；检查样本空间 10 分钟。	各写一个排列、组合、补集情境。
11-09（一）	40 分钟	数列函数讲解 15 分钟；例题 15 分钟；默写通项及复合顺序 10 分钟。	正确标注项号与函数定义域。
11-10（二）	50 分钟	闭合解析完成 Q1–Q10：30 分钟；核对与填写错题表：20 分钟。	保留首次答案、用时与错误原因。
11-11（三）	55 分钟	闭合解析完成 Q11–Q20：35 分钟；核对并独立改正：20 分钟。	给每道犹豫题写一句关键方法。
11-12（四）	60 分钟	闭合解析完成 Q21–Q25：30 分钟；核对与复盘：20 分钟；公式回忆：10 分钟。	找出最需修补的两个薄弱点。
11-13（五）	45 分钟	遮住解析重做最多 4 道错题：25 分钟；用 10 分钟解释错因；用 10 分钟读陷阱清单。	确认重做能讲清步骤，而不只是记住选项。
11-14（六）	30 分钟	仅轻量复习：公式表 10 分钟；错题的防错句 10 分钟；核对学校或考点通知及所需物品 10 分钟。不做新题、不做难题冲刺。	轻松收尾，按平常作息休息。

2026-11-15（星期日）：考试当天按学校或考点通知的开始时间、地点和要求安排。作答时继续使用“先易中、后难；算完重读所求”的规则。

11. 空白错题记录表 · Error Log

可打印后手写，也可在浏览器中点击空白格输入。输入内容不会自动保存，离开或刷新前请自行打印或保留记录。建议把“下次注意”改成具体行动，例如“求完交点后再读一次题目要求的坐标分量”。

日期 / 题号	主题 / 用时	我的答案 → 正确答案	错因与关键步骤	下一次的具体防错动作	重做日期 / 结果

错因提示：知识点不熟｜未建对模型｜计算失误｜漏分类｜目标量读错｜较大较小颠倒｜单位错误｜坐标分量错误｜时间分配不当。

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